二阶常系数线性非齐次微分方程的通解和特解

有二阶常系数线性非齐次微分方程

1. 如果 g(t) 里有指数函数，在特解里也要用相同的指数函数。

例:

先把方程设齐次：
然后解通解:
通解:
然后解特解：
带入原方程：


特解:
最后:

2. 如果 g(t) 是多项式，在特解里要用通用相同次数的多项式。

例:

通解:
然后解特解：
代入原方程：
化简，比较系数得：
特解:
最后:

3. 如果 g(t) 里含有cos或者sin函数，特解里要用cos和sin函数。

例:

通解:
然后解特解：
代入原方程:
化简，比较系数得：


特解:
最后:

4. 如果 g(t) 是n个函数相加，那么要把方程拆分成n个部分，依次求特解。
得：
对以上的n个微分方程依次求特解。

例:

通解:
然后解特解：



特解:

最后:

5. 列出预选的特解，一定要和通解进行比较。如果预选特解中和通解中出现重复项，那么要在特解上乘以t，直到不再出现重复项。

例：

通解：
由于
因此初选特解
但是 y~p~ 和 y~c~ 中第一项相同，那么要在 y~p~ 乘以 t ，得，
但是 y~p~ 和 y~c~ 中第二项也相同，那么再乘以 t ，得，
把特解和通解再比较，没有重复了。特解选好了。
代入原方程得：


特解：
最后：

6. 如果 g(t) 是两个或两个以上函数相乘，那么特解中要用 g(t) 中每个函数对应的特解相乘来求解。

例：

通解：
g(t)是由几个函数相乘再相加所得，先要把它拆分开来。
是由二次多项式和sin函数相乘所得。特解中要用通用二次多项式、cos和sin函数。
设特解和通解比较，发现 Ccos(3t)​ 和 Fsin(3t) 和通解有相同项。那么，要在 y~p1~基础上乘以 t ，
得：
即
再比较，没有相同项了。然后， 是由指数函数和cosine函数相乘所得。特解中要用指数函数、cos和sin函数。设特解
然后和通解 y~c~​ 比较，没有相同项。
最后：

总结：

1. 如果 g(t) 中出现指数函数 (e^at^)，在特解里也要用相同的指数函数。
2. 如果 g(t) 是多项式，在特解里要用通用相同次数的多项式。
3. 如果 g(t) 里出现任意一个cos或者sin函数，特解里要用cos和sin函数。
4. 如果 g(t) 是n个函数相加， ，那么要把方程拆分成n个部分，依次求特解。
5. 列出预选的特解，一定要和通解先进行比较。如果预选特解中和通解中出现重复项，那么要在特解上乘以 t ，直到不再出现重复项。
6. 如果 g(t) 是两个或两个以上函数相乘，那么特解中要用 g(t) 中每个函数对应的特解相乘来求解。